בגרות קיץ 2026 מועד ב׳ – וקטורים בתיבה שבסיסה ריבועוקטורים 472 · שיעור 28
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ שבסיסה ABCD הוא ריבוע. הנקודה F היא אמצע המקצוע BC. הנקודה E נמצאת על האלכסון A′C′, כך שמתקיים A′E = 34 A′C′.
נסמן: AB = u , BC = v , AA′ = w.
א. הביעו באמצעות u , v ו־w את הווקטורים A′E ו־FE.
נתון כי אורך מקצוע הבסיס הוא 4.
ב. חשבו את האורך של הווקטור A′E.
📄 נוסח השאלה · המשך
נתון: |A′E| = |FE|.
ג. הראו כי התיבה היא קובייה.
ד. (1) הראו כי FE מאונך ל־A′C′. (2) חשבו את שטח המשולש A′FC′.
סעיף א – הבעת הווקטורים
בתיבה, מקצועות מקבילים ושווים הם וקטורים שווים: A′B′ = AB = u , B′C′ = BC = v , CC′ = AA′ = w.
הווקטור A′E: קודם האלכסון A′C′ – הולכים מ־A′ ל־B′ ואז ל־C′:
A′C′ = A′B′ + B′C′ = u + v
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
הנקודה E נמצאת על האלכסון, ו־A′E = 34A′C′:
A′E = 34(u + v) = 34u + 34v
📐 כפל וקטור במספר
הווקטור FE: הולכים מ־F ל־C, עולים ל־C′, ומשם הולכים על האלכסון אחורה עד E:
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY + YZ = XZ
📐 כפל וקטור במספר
k(a + b) = ka + kb
סעיף א – הבעת הווקטורים · המשך
הווקטור FE: הולכים מ־F ל־C, עולים ל־C′, ומשם הולכים על האלכסון אחורה עד E:
FE = FC + CC′ + C′E
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
F אמצע BC, ולכן FC = 12BC = 12v. וגם CC′ = w.
A′E הוא 34 מהאלכסון, ולכן מה שנשאר, EC′, הוא 14 מהאלכסון. הכיוון מ־C′ ל־E הפוך:
C′E = −EC′ = −14(u + v) = −14u − 14v
📐 וקטור נגדי
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY + YZ = XZ
📐 וקטור נגדי
YX = −XY
סעיף א – הבעת הווקטורים · המשך
C′E = −EC′ = −14(u + v) = −14u − 14v
📐 וקטור נגדי
נציב u2 = v2 = 16 (הקובייה מסעיף ג) , וכל מכפלה של שני וקטורים מאונכים היא 0:
FE = 12v + w − 14u − 14v
מכנסים את האיברים עם v:
12v − 14v = 24v − 14v = 14v
FE = −14u + 14v + w
📐 וקטור נגדי
YX = −XY
סעיף א – הבעת הווקטורים · המשך
FE = −14u + 14v + w
✅ פתרון סופי: A′E = 34u + 34v , FE = −14u + 14v + w
סעיף ב – האורך של הווקטור A′E
הבסיס ABCD הוא ריבוע עם צלע 4, ולכן |u| = |v| = 4, וגם u מאונך ל־v:
u · v = 0
📐 וקטורים מאונכים
u2 = |u|2 , v2 = |v|2
📐 אורך וקטור
נציב |u| = |v| = 4:
u2 = 42 = 16
v2 = 42 = 16
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟺ a · b = 0
📐 אורך וקטור
|a|2 = a · a = a2
סעיף ב – האורך של הווקטור A′E · המשך
v2 = 42 = 16
מחשבים את ריבוע האורך של A′E:
|A′E|2 = (34u + 34v)2
📐 אורך וקטור
|A′E|2 = (34)2u2 + 2 · 34 · 34 u·v + (34)2v2
📐 ריבוע של סכום
נציב u2 = 16 , u·v = 0 , v2 = 16:
|A′E|2 = 916 · 16 + 2 · 916 · 0 + 916 · 16
📐 אורך וקטור
|a|2 = a · a = a2
📐 ריבוע של סכום
(a + b)2 = a2 + 2a·b + b2
סעיף ב – האורך של הווקטור A′E · המשך
|A′E|2 = 916 · 16 + 2 · 916 · 0 + 916 · 16
|A′E|2 = 9 + 0 + 9 = 18
|A′E| = √18 = √(9 · 2) = 3√2 ≈ 4.24
📐 כפל שורשים
בדיקה בדרך אחרת: במשולש A′B′C′ הזווית ב־B′ ישרה (פינה של ריבוע):
A′C′2 = A′B′2 + B′C′2
📐 משפט פיתגורס
נציב A′B′ = 4 , B′C′ = 4:
📐 כפל שורשים
√(a · b) = √a · √b
📐 משפט פיתגורס
c2 = a2 + b2
סעיף ב – האורך של הווקטור A′E · המשך
נציב A′B′ = 4 , B′C′ = 4:
A′C′2 = 42 + 42 = 16 + 16 = 32
A′C′ = √32 = 4√2 ← A′E = 34 · 4√2 = 3√2 ✓
✅ פתרון סופי: |A′E| = 3√2 ≈ 4.24
סעיף ג – התיבה היא קובייה
נסמן את גובה התיבה |w| = h. המקצוע AA′ מאונך לבסיס, ולכן w מאונך גם ל־u וגם ל־v:
u · w = 0 , v · w = 0 , u · v = 0
📐 וקטורים מאונכים
מחשבים את ריבוע האורך של FE:
|FE|2 = (−14u + 14v + w)2
📐 אורך וקטור
פותחים ריבוע של סכום של שלושה וקטורים – שלושה ריבועים ועוד פעמיים כל מכפלה של שניים:
|FE|2 = 116u2 + 116v2 + w2 − 216u·v − 24u·w + 24v·w
📐 ריבוע של סכום שלושה
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟺ a · b = 0
📐 אורך וקטור
|a|2 = a · a = a2
📐 ריבוע של סכום שלושה
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
סעיף ג – התיבה היא קובייה · המשך
|FE|2 = 116u2 + 116v2 + w2 − 216u·v − 24u·w + 24v·w
📐 ריבוע של סכום שלושה
נציב u2 = v2 = 16 , w2 = h2 , u·v = u·w = v·w = 0 (הווקטורים מאונכים זה לזה):
|FE|2 = 116 · 16 + 116 · 16 + h2 − 0 − 0 + 0
|FE|2 = 1 + 1 + h2 = 2 + h2
נתון |A′E| = |FE| , ולכן גם הריבועים שווים:
|FE|2 = |A′E|2
📐 ריבוע של סכום שלושה
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
סעיף ג – התיבה היא קובייה · המשך
|FE|2 = |A′E|2
נציב |FE|2 = 2 + h2 , |A′E|2 = 18 (מסעיף ב):
2 + h2 = 18
h2 = 18 − 2 = 16
h = √16 = 4 (אורך חיובי)
בדיקה בשרטוט: נוריד אנך מ־E לבסיס, לנקודה G. מ־F ל־G הולכים 1 אחורה בכיוון u ו־1 קדימה בכיוון v:
סעיף ג – התיבה היא קובייה · המשך
בדיקה בשרטוט: נוריד אנך מ־E לבסיס, לנקודה G. מ־F ל־G הולכים 1 אחורה בכיוון u ו־1 קדימה בכיוון v:
FG2 = 12 + 12 = 2 , FE2 = FG2 + EG2 = 2 + h2 ✓
📐 משפט פיתגורס
אז כל המקצועות שווים: AB = BC = 4 (ריבוע) וגם AA′ = 4. בתיבה כל 12 המקצועות שווים ל־4, ולכן היא קובייה.
✅ פתרון סופי: h = 4 = AB = BC ← התיבה היא קובייה
📐 משפט פיתגורס
c2 = a2 + b2
סעיף ד (1) – FE מאונך ל־A′C′
שני וקטורים מאונכים אם המכפלה הסקלרית שלהם היא 0. מסעיף א: A′C′ = u + v.
FE · A′C′ = (−14u + 14v + w) · (u + v)
📐 וקטורים מאונכים
פותחים סוגריים – כל איבר מהסוגריים הראשונים כפול כל איבר מהשניים:
FE · A′C′ = −14u2 − 14u·v + 14v·u + 14v2 + w·u + w·v
📐 פתיחת סוגריים
מציבים u2 = v2 = 16 (הקובייה מסעיף ג) וכל מכפלה של שני וקטורים מאונכים היא 0:
FE · A′C′ = −14 · 16 − 0 + 0 + 14 · 16 + 0 + 0
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟺ a · b = 0
📐 פתיחת סוגריים
(a + b + c)(d + e) = ad + ae + bd + be + cd + ce
סעיף ד (1) – FE מאונך ל־A′C′ · המשך
FE · A′C′ = −14 · 16 − 0 + 0 + 14 · 16 + 0 + 0
FE · A′C′ = −4 + 4 = 0
✅ פתרון סופי: המכפלה הסקלרית היא 0, ולכן FE ⊥ A′C′
סעיף ד (2) – שטח המשולש A′FC′
הנקודה E נמצאת על הצלע A′C′, ו־FE מאונך לה (סעיף ד (1)). לכן FE הוא הגובה מהקודקוד F לצלע A′C′.
אורך הצלע: A′C′ = |u + v| = 4√2 (סעיף ב).
אורך הגובה: FE = A′E = 3√2 (נתון בסעיף ג, ו־A′E חושב בסעיף ב).
S = A′C′ · FE2
📐 שטח משולש
נציב A′C′ = 4√2 , FE = 3√2:
S = 4√2 · 3√22
📐 שטח משולש
S = צלע · גובה2
סעיף ד (2) – שטח המשולש A′FC′ · המשך
S = 4√2 · 3√22
√2 · √2 = 2, ולכן 4√2 · 3√2 = 12 · 2 = 24:
📐 כפל שורשים
S = 242 = 12
✅ פתרון סופי: S = 12 יחידות שטח
📐 כפל שורשים
√a · √a = a
📌 סיכום התשובות
סעיף א
A′E = 34u + 34v
FE = −14u + 14v + w
FE = −14u + 14v + w
סעיף ב
3√2 ≈ 4.24
סעיף ג
גובה 4 = מקצוע הבסיס ← קובייה
סעיף ד (1)
המכפלה הסקלרית 0 ← מאונכים
סעיף ד (2)
S = 12
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא